МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский государственный институт электроники и математики
(Технический университет)
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
по дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика»
Вариант №9
Выполнил:
Черешнев Роман
С-44
Преподаватель:
Н.М. Морозова
Москва 2012
Задание.
Часть I.
Дана выборка  из равномерного на  распределения.
Смоделировать выборку  из заданного закона распределения.
Построить вариационный ряд выборки .
Построить гистограмму и полигон частот.
Построить эмпирическую функцию распределения.
Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.
Найти выборочную моду и медиану.
Найти выборочный коэффициент асимметрии и выборочный эксцесс.
Проверить по правилу «3 сигма», что выборка получена из заданного закона распределения.
Проверить гипотезу о законе распределения по критерию согласия  с уровнем значимости и критерию согласия Колмогорова. 
Часть II.
Оценить интеграл методом Монте-Карло, используя 100 полученных наблюдений , и сравните с точным значением. Найти минимальное число наблюдений  , которые с надёжностью  обеспечат верхнюю границу ошибки  .
^
Закон распределения – E(1,44)
Интеграл –
Выборка из из равномерного на распределения.
0,904
|
0,262
|
0,896
|
0,002
|
0,506
|
0,118
|
0,480
|
0,865
|
0,851
|
0,334
|
0,710
|
0,385
|
0,674
|
0,675
|
0,394
|
0,062
|
0,311
|
0,661
|
0,435
|
0,531
|
0,797
|
0,920
|
0,199
|
0,664
|
0,278
|
0,538
|
0,848
|
0,701
|
0,239
|
0,947
|
0,748
|
0,682
|
0,689
|
0,533
|
0,815
|
0,229
|
0,746
|
0,018
|
0,825
|
0,322
|
0,550
|
0,624
|
0,290
|
0,525
|
0,073
|
0,895
|
0,986
|
0,074
|
0,366
|
0,263
|
0,768
|
0,258
|
0,508
|
0,268
|
0,494
|
0,148
|
0,527
|
0,793
|
0,258
|
0,031
|
0,685
|
0,329
|
0,507
|
0,851
|
0,934
|
0,969
|
0,982
|
0,548
|
0,273
|
0,878
|
0,077
|
0,932
|
0,145
|
0,762
|
0,524
|
0,580
|
0,145
|
0,451
|
0,794
|
0,663
|
0,149
|
0,419
|
0,349
|
0,606
|
0,763
|
0,557
|
0,070
|
0,263
|
0,170
|
0,667
|
0,614
|
0,708
|
0,118
|
0,036
|
0,048
|
0,618
|
0,196
|
0,846
|
0,510
|
0,172
|
Решение.
Дан закон распределения E(1,44). Это показательный закон распределения E(λ) распределение с параметрам λ = 1,44.
На основе данной в условии выборки из равномерного на распределения смоделируем выборку из показательного закона E(1,44).
0,057
|
0,661
|
0,855
|
0,087
|
0,025
|
0,034
|
0,668
|
0,151
|
1,303
|
0,496
|
1,632
|
0,211
|
1,576
|
0,001
|
0,490
|
0,087
|
0,455
|
1,391
|
1,324
|
0,282
|
0,861
|
0,338
|
0,778
|
0,781
|
0,348
|
0,044
|
0,258
|
0,752
|
0,397
|
0,527
|
1,108
|
1,759
|
0,154
|
0,758
|
0,226
|
0,537
|
1,310
|
0,839
|
0,190
|
2,046
|
0,957
|
0,796
|
0,812
|
0,529
|
1,172
|
0,180
|
0,952
|
0,012
|
1,210
|
0,269
|
0,555
|
0,680
|
0,238
|
0,518
|
0,053
|
1,567
|
3,009
|
0,053
|
0,317
|
0,212
|
1,015
|
0,207
|
0,492
|
0,217
|
0,474
|
0,111
|
0,520
|
1,096
|
0,207
|
0,022
|
0,804
|
0,277
|
0,491
|
1,324
|
1,893
|
2,425
|
2,807
|
0,552
|
0,221
|
1,465
|
0,056
|
1,874
|
0,109
|
0,999
|
0,516
|
0,602
|
0,109
|
0,417
|
1,097
|
0,756
|
0,112
|
0,377
|
0,298
|
0,648
|
1,001
|
0,565
|
0,051
|
0,212
|
0,129
|
0,764
|
Построим вариационный ряд выборки.
Вариационный ряд – это элементы выборки, расположенные в порядке возрастания.
 , 
 ,
0,001
|
0,057
|
0,154
|
0,226
|
0,377
|
0,518
|
0,661
|
0,804
|
1,096
|
1,567
|
0,012
|
0,087
|
0,180
|
0,238
|
0,397
|
0,520
|
0,668
|
0,812
|
1,097
|
1,576
|
0,022
|
0,087
|
0,190
|
0,258
|
0,417
|
0,527
|
0,680
|
0,839
|
1,108
|
1,632
|
0,025
|
0,109
|
0,207
|
0,269
|
0,455
|
0,529
|
0,752
|
0,855
|
1,172
|
1,759
|
0,034
|
0,109
|
0,207
|
0,277
|
0,474
|
0,537
|
0,755
|
0,861
|
1,210
|
1,874
|
0,044
|
0,111
|
0,211
|
0,282
|
0,490
|
0,552
|
0,758
|
0,952
|
1,303
|
1,893
|
0,051
|
0,112
|
0,212
|
0,298
|
0,491
|
0,555
|
0,764
|
0,957
|
1,310
|
2,046
|
0,053
|
0,129
|
0,212
|
0,317
|
0,492
|
0,565
|
0,778
|
0,999
|
1,324
|
2,425
|
0,053
|
0,131
|
0,217
|
0,338
|
0,496
|
0,602
|
0,781
|
1,001
|
1,391
|
2,807
|
0,056
|
0,151
|
0,221
|
0,348
|
0,516
|
0,648
|
0,796
|
1,015
|
1,465
|
3,009
|
Гистограмма и полигон частот.
  - ширина столбцов
 — число элементов выборки, попавших в i-ый интервал.
 , где n = 100 — частота попадания в i-ый интервал.
 - высота i-го столбца
N
|
границы интервалов
|
|
|
|
|
1
|
0,001
|
0,377
|
40
|
0,4
|
1,06
|
0,189
|
2
|
0,377
|
0,753
|
24
|
0,24
|
0,64
|
0,565
|
3
|
0,753
|
1,129
|
16
|
0,16
|
0,43
|
0,941
|
4
|
1,129
|
1,505
|
10
|
0,1
|
0,27
|
1,317
|
5
|
1,505
|
1,881
|
5
|
0,05
|
0,13
|
1,693
|
6
|
1,881
|
2,257
|
2
|
0,02
|
0,053
|
2,069
|
7
|
2,257
|
2,633
|
1
|
0,01
|
0,026
|
2,245
|
8
|
2,633
|
3,009
|
2
|
0,02
|
0,053
|
2,281
|
Построим гистограмму:
Построим полигон частот:
Эмпирическая функция.
Найдем выборочное среднее и выборочную дисперсию.
 - выборочное среднее
Теоретически 
 - выборочная дисперсия
Теоретически 
Найдем выборочную моду и выборочную медиану.
 – выборочная мода – середина максимального по высоте столбца.
= 0,189
 - выборочная медиана
 , если n – нечетное (2)
n = 100 – четное, значит воспользуемся формулой (1).
Найдем выборочный коэффициент асимметрии и выборочный эксцесс.
 - коэффициент асимметрии
 - коэффициент эксцесса
Проверим по правилу «3 сигма», что выборка получена из заданного закона распределения.
 =0,694
 ,  =0,694
 =98%
Проверим гипотезу о законе распределения по критерию согласия 2.
=0,045 – уровень значимости.
H0 – гипотеза. Выборка  получена из заданного закона распределения.
 - число степеней свободы
 =8-1=7
n=100
границы
|
интервалов
|
|
–∞
|
0,001
|
0
|
0,001
|
0,377
|
40
|
0,377
|
0,753
|
24
|
0,753
|
1,129
|
16
|
1,129
|
1,505
|
10
|
1,505
|
1,881
|
5
|
1,881
|
2,257
|
2
|
2,257
|
2,633
|
1
|
2,633
|
3,009
|
2
|
3,009
|
∞
|
0
|
Объединим интервалы, что бы в одном интервале было на меньше 5-ти значений.
границы
|
интервалов
|
|
|
|
|
|
–∞
|
0,377
|
40
|
0.4175
|
-1,75
|
3,0625
|
0,073
|
0,377
|
0,753
|
24
|
0,2421
|
-0,21
|
0,0441
|
0,001
|
0,753
|
1,129
|
16
|
0.142
|
1,8
|
3,24
|
0,228
|
1,129
|
1,505
|
10
|
0.083
|
2,7
|
7,29
|
0.878
|
1,505
|
1,881
|
5
|
0.047
|
0,3
|
0,09
|
0,019
|
1,881
|
∞
|
5
|
0,075
|
-2,5
|
6,25
|
0,833
|
 = 2,032
=7, =0,045. По таблице находим  .
=140,1
< => принимаем гипотезу.
Проверим гипотезу по критерию согласия Колмогорова.
K(λα-1) = 0,955
λα-1=1,056
Dn=0,001
Dn <  => принимаем гипотезу.
Оценим интеграл методом Монте-Карло, используя 100 полученных наблюдений.
=0.99
=0.0045
Решение:
I=
Обозначаем (x)= 
(x)=g(x)*f(x)
 - для показательного закона
λ=1,44
 =
Составим таблицу для .
0,695
|
0,735
|
0,802
|
0,852
|
0,957
|
1,054
|
1,154
|
1,253
|
1,456
|
1,712
|
0,703
|
0,755
|
0,820
|
0,860
|
0,971
|
1,056
|
1,159
|
1,259
|
1,457
|
1,783
|
0,710
|
0,755
|
0,827
|
0,874
|
0,984
|
1,061
|
1,167
|
1,278
|
1,464
|
1,789
|
0,712
|
0,770
|
0,839
|
0,882
|
1,011
|
1,062
|
1,217
|
1,289
|
1,509
|
1,828
|
0,718
|
0,771
|
0,839
|
0,887
|
1,024
|
1,067
|
1,219
|
1,292
|
1,535
|
1,916
|
0,726
|
0,772
|
0,841
|
0,891
|
1,035
|
1,078
|
1,221
|
1,356
|
1,599
|
1,996
|
0,730
|
0,772
|
0,842
|
0,902
|
1,036
|
1,080
|
1,225
|
1,359
|
1,604
|
2,010
|
0,731
|
0,785
|
0,842
|
0,915
|
1,037
|
1,087
|
1,235
|
1,389
|
1,614
|
0,000
|
0,732
|
0,786
|
0,845
|
0,930
|
1,039
|
1,113
|
1,237
|
1,390
|
1,614
|
0,000
|
0,733
|
0,800
|
0,848
|
0,937
|
1,053
|
1,145
|
1,247
|
1,399
|
1,661
|
0,000
|
 =1,098
Посчитаем точное значение интеграла: (вычислено с помощью MathCad)
Найдем минимальное число наблюдений N, которые с надежностью =0.99 обеспечат верхнюю границу ошибки =0.045.
 находим по таблице, =3,3
N=29- это минимальное число наблюдений, которое с надежностью  =0,99 обеспечит верхнюю границу ошибки  =0,0045
|
